La naturalesa de les matemàtiques

rusc

Per Rut Herrero i Emma Valdés, 2n BTX

A LA RECERCA DE PATRONS MATEMÀTICS A LA NATURA

1. INTRODUCCIÓ

No és fàcil explicar què ens va portar a fer aquest Treball de Recerca sobre la naturalesa de l’origen de les matemàtiques i la presència d’aquestes a la natura, ni com vam acabar fent-lo juntes. Ambdues teníem clar que volíem tractar alguna matèria relacionada amb les ciències, però no vam arribar al tema definitiu de la mateixa manera. La Rut ja tenia més o menys clar que volia fer algun tema relacionat amb les matemàtiques. D’altra banda, l’Emma, que estava estudiant al Canadà, no ho tenia tan clar. El fet que la va fer decidir-se va ser escoltar una anècdota sobre el funcionament de l’arbre genealògic de les abelles en una lliçó de matemàtiques. A finals de març vam començar a treballar conjuntament. Tot el procés de recerca se’ns va fer molt amè a causa de la curiositat que sentíem, i de seguida van sorgir les preguntes i els objectius.

Les dificultats principals per a la realització d’aquest treball han estat la distància i organitzar-nos de manera conjunta i ordenada. Era difícil en un principi la comunicació, ja que la diferència horària era de nou hores. Per aquests motius, han estat claus en tot moment les xarxes socials i les plataformes de treball en línia (en el nostre cas, Google Drive). La tria dels patrons matemàtics no va ser gaire difícil. D’entrada vam fer una pluja d’idees de conceptes matemàtics que crèiem que podien aparèixer a la natura.

Triar els conceptes adequats va ser també possible gràcies al nostre tutor, que ens enviava algunes fonts interessants que relacionaven les matemàtiques i la natura. Algunes les descartàvem per falta d’interès, altres per falta de base científica. Durant el procés de recerca, vam tenir diverses idees per afegir a la part pràctica. Se’ns va ocórrer de crear un programa informàtic via Geogebra que representés una idea que està en el treball; vam haver de descartar-ho perquè era massa complicat aprendre el llenguatge informàtic corresponent. No vam realitzar cap entrevista pel fet que no ens va donar temps, ja que va haver-hi un canvi de tema al període final de recerca. Inicialment no ens plantejàvem de preguntar-nos sobre la naturalesa de l’origen de les matemàtiques. Va sorgir més endavant, en veure que molts patrons matemàtics eren presents a la natura. Ara pensem que hagués estat bé de realitzar una entrevista al professor de filosofia del nostre institut, en Toni Pujadas. Tampoc vam realitzar cap enquesta, ja que vàrem considerar que no seria útil ni fiable. Creiem que no té gaire sentit preguntar a la gent del carrer o als alumnes de l’institut si les matemàtiques són descobertes o inventades; la majoria no tenen prou base matemàtica o filosòfica per a respondre a la pregunta de manera raonada, i ho farien a l’atzar.

Els nostres objectius per aquest treball de recerca són diversos. En primer lloc i com a fita principal, volem determinar si les matemàtiques són inventades per l'home o descobertes. Com hem pogut comprovar durant aquests mesos, aquesta qüestió no està en l’agenda de la major part de la població. Pocs són els que es pregunten sobre la naturalesa de quelcom tan abstracte però a la vegada tan assumit en el dia a dia com ho són les matemàtiques. Per a assolir això, volem indagar en les característiques de la naturalesa i descobrir si és tan aleatòria com sembla o per contra presenta patrons matemàtics. En segon pla estem interessades a fer un treball complementari a altres treballs que també parlen sobre aquest tema, ja que pensem que sovint aquests manquen de bastant informació i aquesta no està prou contrastada. Finalment, volem difondre tot el que hem après a partir del treball mitjançant una pàgina web. Això facilita la cerca a tothom que estigui interessat, i a més a més també proporciona l'ús d'animacions que ajuden a entendre millor l'explicació realitzada.

Estructuralment, el nostre treball difereix bastant d’altres Treballs de Recerca. Normalment aquests compten amb una introducció, una sola part teòrica i una part pràctica diferenciada, a més d’una conclusió. En el nostre cas, desenvolupem múltiples idees a la part teòrica i exemplifiquem aquestes idees amb l’ajuda del Geogebra i la creació d’una pàgina web. També consta a la part pràctica una síntesi de l’origen de les matemàtiques en les primeres societats. El treball inclou contingut visual (com ara imatges o esquemes) perquè així és més representatiu i ajuda a visualitzar i entendre millor els conceptes, aportant ordre a tot plegat. La bibliografia està estructurada segons la normativa APA, emprada sovint en informes de recerca. A l’annex hem adjuntat els procediments de com fer un GIF amb el Geogebra, i una captura de pantalla de la pàgina web, així com una breu explicació de com l’hem creat.

2. HIPÒTESI

La hipòtesi que volem confirmar o refutar amb aquest treball és la següent: “Les matemàtiques no van ser inventades per l’home, sinó descobertes i desenvolupades al llarg dels anys.”

Això ho creiem perquè la naturalesa és per definició allò que no ha inventat la humanitat. Per tant, si en aquesta naturalesa hi apareixen alguns aspectes bàsics matemàtics, comportarà que no han sigut inventades; ja hi eren abans.

Amb la finalitat d’aclarir la nostra hipòtesi, és necessari entendre les diferències entre els conceptes descobrir i inventar. Segons el diccionari de l’Institut d’Estudis Catalans, descobrir és “ésser el primer a conèixer una cosa fins aleshores desconeguda”; inventar és “trobar, descobrir, a força d’estudi, d’enginy, alguna cosa nova, no coneguda d’abans”. Per tant, tot i que ambdues definicions són molt properes en significat, hi ha un matís que les diferencia: inventar comporta trobar quelcom de nou, descobrir comporta simplement quelcom desconegut fins aquell moment.

3. LA HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES EN LES CIVILITZACIONS. PER QUÈ ÉS RELLEVANT LA HISTÒRIA?

Abans de poder definir si les matemàtiques són un element inherent a l’existència o bé simplement un producte del cervell humà, cal conèixer i entendre els orígens de la relació entre les matemàtiques i els humans. L’origen d’un fenomen sempre és rellevant per a conèixer els motius d’aquest, així com per a poder fer prediccions envers el mateix. Aquest és el cas del coneixement de les matemàtiques: no va aparèixer del no-res en els cervells dels individus humans, sinó que és producte d’un procés que és facilitat gràcies a la mateixa evolució de la intel•ligència humana, així com de la capacitat d’enregistrar els avenços mitjançant l’escriptura i transmetre’ls a les següents generacions.

Aquest punt està dedicat a sintetitzar breument els orígens de la ciència i de gran part del coneixement actual del camp de les matemàtiques. L’hem estructurat en els apartats següents:

  • Les primeres matemàtiques de les civilitzacions
     xina
    Quadrat màgic xinès
    amb el seu equivalent occidental 
  • Prehistòria
  • Antic Egipte
  • Civilització babilònica
  • Antiga Grècia
  • Escola jònica
  • Escola Pitagòrica
  • Escola Eleàtica
  • L’Acadèmia
  • Civilització xinesa
  • Civilització índia
  • Els punts de vista actuals sobre l’origen de les matemàtiques. Descobertes o inventades?

4. ELS PATRONS MATEMÀTICS DE LA NATURALESA

En aquest apartat es mostren elements de la naturalesa que tenen relació directa amb determinats conceptes matemàtics; aquests estan ordenats segons la branca de les matemàtiques a la qual pertanyen. Alguns d’aquests elements són comuns amb altres treballs, però també en podreu trobar d’altres que no s’han fet fins ara, o que no són freqüents. Seguidament incloem la llista dels que hem tractat.

  • Espirals
     via lac  cua
    Espiral d'Arquímedes superposada a la Via Làctia pel geogebra Espiral logarítmica superposada a la cua d'un camaleó pel geogebra
Espiral d’Arquimedes 
Espiral logarítmica  
Espiral àuria 
  • Successió de Fibonacci 
  • Constants 

Nombre d’or 
Número pi 
Número d’Euler 
Número d’Avogadro

  • Fractals 

Passeig de Lévy: taurons i abelles 

  • Geometria 
     girafa kiwi 
     Diagrama de Voronoi de
    la girafa fet al geogebra
     El kiwi és una de les
    moltes fruites amb
    simetria de rotació

Còniques 

Circumferències 
El•lipses 
Hipèrboles 
Paràboles 

Ovoides 

Diagrama de Voronoi 

Excepcions

Simetria 

Simetria reflectiva  
Simetria de rotació  
Simetria de translació 
Simetria helicoidal 
Simetria d'escala 

  • Animals 
    ratolins elefants
    Tipus r Tipus K

Angles de visió dels animals 
El nombre de cries dels animals 

Tipus r  
Tipus K 


5. CONCLUSIONS

Després de tota la recerca podem afirmar que la nostra hipòtesi és correcta. Molts conceptes matemàtics fonamentals han sigut descoberts, i no inventats. Això no significa, però, que no hi hagi camps de les matemàtiques que siguin inventats per la humanitat. Ambdues idees són coexistents; no es contradiuen entre elles.

Hem arribat a aquesta conclusió perquè hem pogut observar com el concepte de les matemàtiques és present a la naturalesa i ha estat en el nostre Univers des de sempre. La naturalesa és, per definició, allò que no prové de l'home. Per tant, la presència de les matemàtiques en ella fa que s'elimini definitivament la possibilitat que siguin una invenció. Això no significa necessàriament que tot el que sabem de les matemàtiques avui en dia hagi sigut descobert; la creativitat i la capacitat d'abstracció són qualitats inherents en la humanitat, i això ha fet que desenvolupem camps matemàtics extremament abstractes, com ho són els nombres imaginaris, o els càlculs que impliquen més de tres dimensions espacials.

Pel que fa a la creació de la pàgina web, creiem que ha sigut una molt bona experiència que ens ha ajudat a endreçar els nostres coneixements, i que aporta una explicació més dinàmica del treball i facilita la comprensió del lector. El contingut audiovisual, que no és possible en un treball escrit, és una gran eina que ajuda a visualitzar conceptes abstractes, i així cada individu assoleix els mateixos coneixements amb claredat. A més a més, creiem que és una gran oportunitat per poder difondre tot el que hem après i descobert durant la recerca. Una altra gran eina que ens ha permès fer una de les parts pràctiques més importants és el programa interactiu Geogebra, que combina geometria, àlgebra i càlcul. Gràcies a ell hem pogut demostrar una sèrie de patrons matemàtics que apareixen en aspectes de la natura. A més, hem estat forçades a aprendre a utilitzar aquestes eines informàtiques de treball.

Finalment, volíem remarcar que aquesta experiència ens ha proporcionat un aprenentatge de com recercar informació i seguir una metodologia per assolir els nostres objectius.

Febrer 2018

 Institut Juan Manuel Zafra

Rogent 51 - 08026 Barcelona - Tel.: 934 350126 - 934 351 512 - Fax: 934 502 029 - email: iesm-jmzafra@xtec.cat
logo_consorci LOGO.ESCOLES.S.HORITZONTAL.1.COLOR